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随机变量

相关概念

随机变量

给定概率空间 ，定义在样本空间 上的函数 若满足：对任意 都有

则称 为 随机变量。

示性函数

对于样本空间 上的事件 ，定义随机变量

称 是事件 的 示性函数。

分布函数

对于随机变量 ，称函数

为随机变量 的 分布函数。记作 。

分布函数具有以下性质：

  • 右连续性：
  • 单调性：在 上单调递增（非严格）
  • ,

同时我们可以证明，满足上述要求的函数都是某个随机变量的分布函数。因此，分布函数与随机变量之间一一对应。

随机变量的分类

随机变量按其值域（根据定义，随机变量是一个函数）是否可数分为 离散型 和 连续型 两种。

离散型随机变量

设 为离散型随机变量，其所有可能的取值为 ，则我们可以用一系列形如 的等式来描述 。这就是我们在高中课本中学过的 分布列。

连续型随机变量

设 为连续型随机变量，考察 往往是无意义的（因为这一概率很可能是 ）。

为什么说概率「很可能」是

考虑这样的随机变量 ：它以 的概率取 ，以 的概率服从开区间 上的均匀分布。显然 满足连续型随机变量的定义。

对任何实数 ，不难得到 ，但同时有 。

另一方面，设 ，则

一个自然的想法是用极限 来描述 取值为 的可能性。

这个式子就是我们熟知的导数，于是问题转化为寻找一个非负函数 使得

若这样的 存在，则称之为 的 密度函数。

随机变量的独立性

前面讨论了随机事件的独立性。由于随机变量和随机事件紧密联系，我们还可以类似地给出随机变量独立性的定义。

定义

若随机变量 满足对任意的 都有

则称随机变量 独立。

Note

有些同学也许会注意到，中学课本中对随机变量独立性的定义是用形如 的概率定义的，但由于连续性随机变量取特定值的概率通常是 ，故在更一般的情形下借助分布函数定义才是更加明智的选择。

性质

若随机变量 , 相互独立，则对于任意函数 ，随机变量 与 相互独立。

Warning

有时候我们会研究相互独立的随机变量 , 的某一函数 （如 ）的分布。

尽管 与 是独立的，但不能想当然地认为对 的某一取值 ， 与 服从同样的分布。

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