杜教筛
杜教筛被用于处理一类数论函数的前缀和问题。对于数论函数
,杜教筛可以在低于线性时间的复杂度内计算
。
算法思想
我们想办法构造一个
关于
的递推式。
对于任意一个数论函数
,必满足:

其中
为数论函数
和
的 狄利克雷卷积。
略证
就是对所有
的做贡献,因此变换枚举顺序,枚举
,
(分别对应新的
)

那么可以得到递推式:

假如我们可以构造恰当的数论函数
使得:
- 可以快速计算
; - 可以快速计算
的单点值,以用数论分块求解
。
则我们可以在较短时间内求得
。
注意
无论数论函数
是否为积性函数,只要可以构造出恰当的数论函数
, 便都可以考虑用杜教筛求
的前缀和。
如考虑
, 显然
不是积性函数,但可取
, 从而:
计算
和
的时间复杂度均为
, 故可以考虑使用杜教筛。
时间复杂度
我们认为计算
和
的时间复杂度均为
, 设计算
的复杂度为
, 此时我们不妨将
简化为如下形式:

由 整除分块/数论分块 可知
共有
种取值,故有:


Note
视作高阶无穷小,从而可以舍去。
故:

如果可以通过线性筛预处理出
到
的值,此时的
中我们只需要计算
的部分。设计算这一部分的复杂度为
,则有:

从而:

由均值不等式可知,当
时,
取得最小值
.
例题
问题一
P4213【模板】杜教筛(Sum)
求
和
的值,
.
我们知道:
![\epsilon = [n=1] = \mu * 1 = \sum_{d \mid n} \mu(d)](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)

时间复杂度的推导见 时间复杂度 一节。
对于较大的值,需要用 map
/unordered_map
存下其对应的值,方便以后使用时直接使用之前计算的结果。
当然也可以用杜教筛求出
的前缀和,但是更好的方法是应用莫比乌斯反演。
== "杜教筛"
| 求 $S(n)=\sum_{i=1}^n\varphi(i)$.
同样的,$\varphi * 1=\operatorname{id}$, 从而:
$$
\begin{aligned}
S(n) & =\sum_{i=1}^n i - \sum_{i=2}^n S\left(\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor\right) \\
& =\frac{1}{2}n(n+1) - \sum_{i=2}^n S\left(\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor\right)
\end{aligned}
$$
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代码实现
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57 | #include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <map>
using namespace std;
const int maxn = 2000010;
long long T, n, pri[maxn], cur, mu[maxn], sum_mu[maxn];
bool vis[maxn];
map<long long, long long> mp_mu;
long long S_mu(long long x) { // 求mu的前缀和
if (x < maxn) return sum_mu[x];
if (mp_mu[x]) return mp_mu[x]; // 如果map中已有该大小的mu值,则可直接返回
long long ret = (long long)1;
for (long long i = 2, j; i <= x; i = j + 1) {
j = x / (x / i);
ret -= S_mu(x / i) * (j - i + 1);
}
return mp_mu[x] = ret; // 路径压缩,方便下次计算
}
long long S_phi(long long x) { // 求phi的前缀和
long long ret = (long long)0;
long long j;
for (long long i = 1; i <= x; i = j + 1) {
j = x / (x / i);
ret += (S_mu(j) - S_mu(i - 1)) * (x / i) * (x / i);
}
return (ret - 1) / 2 + 1;
}
int main() {
scanf("%lld", &T);
mu[1] = 1;
for (int i = 2; i < maxn; i++) { // 线性筛预处理mu数组
if (!vis[i]) {
pri[++cur] = i;
mu[i] = -1;
}
for (int j = 1; j <= cur && i * pri[j] < maxn; j++) {
vis[i * pri[j]] = true;
if (i % pri[j])
mu[i * pri[j]] = -mu[i];
else {
mu[i * pri[j]] = 0;
break;
}
}
}
for (int i = 1; i < maxn; i++)
sum_mu[i] = sum_mu[i - 1] + mu[i]; // 求mu数组前缀和
while (T--) {
scanf("%lld", &n);
printf("%lld %lld\n", S_phi(n), S_mu(n));
}
return 0;
}
|
问题二
「LuoguP3768」简单的数学题
大意:求
其中
,
是质数。
利用
做莫比乌斯反演化为:

其中 
对
做数论分块,
的前缀和用杜教筛处理:


需要构造积性函数
,使得
和
能快速求和。
单纯的
的前缀和可以用
的杜教筛处理,但是这里的
多了一个
,那么我们就卷一个
上去,让它变成常数:

化一下卷积:

再化一下
:

分块求解即可。
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73 | #include <cmath>
#include <cstdio>
#include <map>
using namespace std;
const int N = 5e6, NP = 5e6, SZ = N;
long long n, P, inv2, inv6, s[N];
int phi[N], p[NP], cnt, pn;
bool bp[N];
map<long long, long long> s_map;
long long ksm(long long a, long long m) { // 求逆元用
long long res = 1;
while (m) {
if (m & 1) res = res * a % P;
a = a * a % P, m >>= 1;
}
return res;
}
void prime_work(int k) { // 线性筛phi,s
bp[0] = bp[1] = 1, phi[1] = 1;
for (int i = 2; i <= k; i++) {
if (!bp[i]) p[++cnt] = i, phi[i] = i - 1;
for (int j = 1; j <= cnt && i * p[j] <= k; j++) {
bp[i * p[j]] = 1;
if (i % p[j] == 0) {
phi[i * p[j]] = phi[i] * p[j];
break;
} else
phi[i * p[j]] = phi[i] * phi[p[j]];
}
}
for (int i = 1; i <= k; i++)
s[i] = (1ll * i * i % P * phi[i] % P + s[i - 1]) % P;
}
long long s3(long long k) { // 立方和
return k %= P, (k * (k + 1) / 2) % P * ((k * (k + 1) / 2) % P) % P;
}
long long s2(long long k) { // 平方和
return k %= P, k * (k + 1) % P * (k * 2 + 1) % P * inv6 % P;
}
long long calc(long long k) { // 计算S(k)
if (k <= pn) return s[k];
if (s_map[k]) return s_map[k]; // 对于超过pn的用map离散存储
long long res = s3(k), pre = 1, cur;
for (long long i = 2, j; i <= k; i = j + 1)
j = k / (k / i), cur = s2(j),
res = (res - calc(k / i) * (cur - pre) % P) % P, pre = cur;
return s_map[k] = (res + P) % P;
}
long long solve() {
long long res = 0, pre = 0, cur;
for (long long i = 1, j; i <= n; i = j + 1) {
j = n / (n / i);
cur = calc(j);
res = (res + (s3(n / i) * (cur - pre)) % P) % P;
pre = cur;
}
return (res + P) % P;
}
int main() {
scanf("%lld%lld", &P, &n);
inv2 = ksm(2, P - 2), inv6 = ksm(6, P - 2);
pn = (long long)pow(n, 0.666667); // n^(2/3)
prime_work(pn);
printf("%lld", solve());
return 0;
} // 不要为了省什么内存把数组开小,会卡80
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