平衡三进制

定义

平衡三进制，也称为对称三进制。这是一个不太标准的 计数体系。

正规的三进制的数字都是由 0,1,2 构成的，而平衡三进制的数字是由 -1,0,1 构成的。它的基数也是 3（因为有三个可能的值）。由于将 -1 写成数字不方便，我们将使用字母 Z 来代替 -1。

解释

这里有几个例子：

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10

    0    0
    1    1
    2    1Z
    3    10
    4    11
    5    1ZZ
    6    1Z0
    7    1Z1
    8    10Z
    9    100

该 计数体系 的负数表示起来很容易：只需要将正数的数字倒转即可（Z 变成 1,1 变成 Z）。

1
2
3
4
5

    -1   Z
    -2   Z1
    -3   Z0
    -4   ZZ
    -5   Z11

很容易就可以看到，负数最高位是 Z，正数最高位是 1。

过程

在平衡三进制的转转换法中，需要先写出一个给定的数 x 在标准三进制中的表示。当 x 是用标准三进制表示时，其数字的每一位都是 0、1 或 2。从最低的数字开始迭代，我们可以先跳过任何的 0 和 1，但是如果遇到 2 就应该先将其变成 Z，下一位数字再加上 1。而遇到数字 3 则应该转换为 0 下一位数字再加上 1。

应用一

把 64 转换成平衡三进制。

首先，我们用标准三进制数来重写这个数：

让我们从对整个数影响最小的数字（最低位）进行处理：

• 101 被跳过（因为在平衡三进制中允许 0 和 1）；
• 2 变成了 Z，它左边的数字加 1，得到 1Z101；
• 1 被跳过，得到 1Z101。

最终的结果是 1Z101。

我们再把它转换回十进制：

应用二

把 237 转换成平衡三进制。

首先，我们用标准三进制数来重写这个数：

• 0 和 1 被跳过（因为在平衡三进制中允许 0 和 1）；
• 2 变成 Z，左边的数字加 1，得到 23Z10；
• 3 变成 0，左边的数字加 1，得到 30Z10；
• 3 变成 0，左边的数字（默认是 0）加 1，得到 100Z10；
• 1 被跳过，得到 100Z10。

最终的结果是 100Z10。

我们再把它转换回十进制：

性质

对于一个平衡三进制数 来说，其可以按照每一位 乘上对应的权值 来唯一得到一个十进制数 。

那对于一个十进制数 ，是否 唯一对应一个平衡三进制数 呢？

答案是肯定的，这种性质被叫做平衡三进制的唯一性。

练习题

Topcoder SRM 604, Div1-250

本页面部分内容译自博文 Троичная сбалансированная система счисления 与其英文翻译版 Balanced Ternary。其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link；英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0。

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