跳转至

树哈希

判断一些树是否同构的时，我们常常把这些树转成哈希值储存起来，以降低复杂度。

树哈希是很灵活的，可以设计出各种各样的哈希方式；但是如果随意设计，很有可能是错误的，可能被卡。以下介绍一类容易实现且不易被卡的方法。

方法

这类方法需要一个多重集的哈希函数。以某个结点为根的子树的哈希值，就是以它的所有儿子为根的子树的哈希值构成的多重集的哈希值，即：

其中 表示以 为根的子树的哈希值， 是多重集的哈希函数。

以代码中使用的哈希函数为例：

其中 为常数，一般使用 即可。 为模数，一般使用 或 进行自然溢出，也可使用大素数。 为整数到整数的映射，代码中使用 xor shift，也可以选用其他的函数，但是不建议使用多项式。为了预防出题人对着 xor hash 卡，还可以在映射前后异或一个随机常数。

这种哈希十分好写。如果需要换根，第二次 DP 时只需把子树哈希减掉即可。

例题

UOJ #763. 树哈希

这是一道模板题。不用多说，以 为根跑一遍 DFS 就好了。

参考代码 
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
#include <cctype>
#include <chrono>
#include <cstdio>
#include <random>
#include <set>
#include <vector>

typedef unsigned long long ull;

const ull mask = std::chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count();

ull shift(ull x) {
  x ^= mask;
  x ^= x << 13;
  x ^= x >> 7;
  x ^= x << 17;
  x ^= mask;
  return x;
}

const int N = 1e6 + 10;

int n;
ull hash[N];
std::vector<int> edge[N];
std::set<ull> trees;

void getHash(int x, int p) {
  hash[x] = 1;
  for (int i : edge[x]) {
    if (i == p) {
      continue;
    }
    getHash(i, x);
    hash[x] += shift(hash[i]);
  }
  trees.insert(hash[x]);
}

int main() {
  scanf("%d", &n);
  for (int i = 1; i < n; i++) {
    int u, v;
    scanf("%d%d", &u, &v);
    edge[u].push_back(v);
    edge[v].push_back(u);
  }
  getHash(1, 0);
  printf("%lu", trees.size());
}

[BJOI2015] 树的同构

这道题所说的同构是指无根树的，而上面所介绍的方法是针对有根树的。因此只有当根一样时，同构的两棵无根树哈希值才相同。由于数据范围较小，我们可以暴力求出以每个点为根时的哈希值，排序后比较。

如果数据范围较大，我们也可以使用换根 DP，遍历树两遍，求出以每个点为根时的哈希值。我们还可以利用上面的多重集哈希函数：把以每个结点为根时的哈希值都存进多重集，再把多重集的哈希值算出来，进行比较（做法一）。

还可以通过找重心的方式来优化复杂度。一棵树的重心最多只有两个，只需把以它（们）为根时的哈希值求出来即可。接下来，既可以分别比较这些哈希值（做法二），也可以在有一个重心时取它的哈希值作为整棵树的哈希值，有两个时则取其中较小（大）的。

做法一 
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
#include <chrono>
#include <cstdio>
#include <map>
#include <random>
#include <set>
#include <vector>

typedef unsigned long long ull;

const int N = 60, M = 998244353;
const ull mask = std::chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count();

ull shift(ull x) {
  x ^= mask;
  x ^= x << 13;
  x ^= x >> 7;
  x ^= x << 17;
  x ^= mask;
  return x;
}

std::vector<int> edge[N];
ull sub[N], root[N];
std::map<ull, int> trees;

void getSub(int x) {
  sub[x] = 1;
  for (int i : edge[x]) {
    getSub(i);
    sub[x] += shift(sub[i]);
  }
}

void getRoot(int x) {
  for (int i : edge[x]) {
    root[i] = sub[i] + shift(root[x] - shift(sub[i]));
    getRoot(i);
  }
}

int main() {
  int m;
  scanf("%d", &m);
  for (int t = 1; t <= m; t++) {
    int n, rt = 0;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
      int fa;
      scanf("%d", &fa);
      if (fa) {
        edge[fa].push_back(i);
      } else {
        rt = i;
      }
    }
    getSub(rt);
    root[rt] = sub[rt];
    getRoot(rt);
    ull hash = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
      hash += shift(root[i]);
    }
    if (!trees.count(hash)) {
      trees[hash] = t;
    }
    printf("%d\n", trees[hash]);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
      edge[i].clear();
    }
  }
}
做法二 
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
#include <chrono>
#include <cstdio>
#include <map>
#include <random>
#include <set>
#include <vector>

typedef unsigned long long ull;
typedef std::pair<ull, ull> Hash2;

const int N = 60, M = 998244353;
const ull mask = std::chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count();

ull shift(ull x) {
  x ^= mask;
  x ^= x << 13;
  x ^= x >> 7;
  x ^= x << 17;
  x ^= mask;
  return x;
}

int n;
int size[N], weight[N], centroid[2];
std::vector<int> edge[N];
std::map<Hash2, int> trees;

void getCentroid(int x, int fa) {
  size[x] = 1;
  weight[x] = 0;
  for (int i : edge[x]) {
    if (i == fa) {
      continue;
    }
    getCentroid(i, x);
    size[x] += size[i];
    weight[x] = std::max(weight[x], size[i]);
  }
  weight[x] = std::max(weight[x], n - size[x]);
  if (weight[x] <= n / 2) {
    int index = centroid[0] != 0;
    centroid[index] = x;
  }
}

ull getHash(int x, int fa) {
  ull hash = 1;
  for (int i : edge[x]) {
    if (i == fa) {
      continue;
    }
    hash += shift(getHash(i, x));
  }
  return hash;
}

int main() {
  int m;
  scanf("%d", &m);
  for (int t = 1; t <= m; t++) {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
      int fa;
      scanf("%d", &fa);
      if (fa) {
        edge[fa].push_back(i);
        edge[i].push_back(fa);
      }
    }
    getCentroid(1, 0);
    Hash2 hash;
    hash.first = getHash(centroid[0], 0);
    if (centroid[1]) {
      hash.second = getHash(centroid[1], 0);
      if (hash.first > hash.second) {
        std::swap(hash.first, hash.second);
      }
    } else {
      hash.second = hash.first;
    }
    if (!trees.count(hash)) {
      trees[hash] = t;
    }
    printf("%d\n", trees[hash]);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
      edge[i].clear();
    }
    centroid[0] = centroid[1] = 0;
  }
}

HDU 6647 Bracket Sequences on Tree

题目要求遍历一棵无根树产生的本质不同括号序列方案数。

首先可以注意到，两棵不同构的有根树一定不会生成相同的括号序列。我们先考虑遍历有根树能够产生的本质不同括号序列方案数，假设我们当前考虑的子树根节点为 ，记 表示这棵子树的方案数，从 开始往下遍历，顺序可以随意选择，产生 种排列，遍历每个儿子节点 ， 的子树内有 种方案，因此有 。但是，同构的子树之间会产生重复， 需要除掉每种本质不同子树出现次数阶乘的乘积，类似于多重集合的排列。

通过上述 DP，可以求出根节点的方案数。再通过换根 DP，将父亲节点的哈希值和方案信息转移给儿子，可以求出以每个节点为根时的哈希值和方案数。每种不同的子树只需要计数一次即可。

参考代码 
  1
  2
  3
  4
  5
  6
  7
  8
  9
 10
 11
 12
 13
 14
 15
 16
 17
 18
 19
 20
 21
 22
 23
 24
 25
 26
 27
 28
 29
 30
 31
 32
 33
 34
 35
 36
 37
 38
 39
 40
 41
 42
 43
 44
 45
 46
 47
 48
 49
 50
 51
 52
 53
 54
 55
 56
 57
 58
 59
 60
 61
 62
 63
 64
 65
 66
 67
 68
 69
 70
 71
 72
 73
 74
 75
 76
 77
 78
 79
 80
 81
 82
 83
 84
 85
 86
 87
 88
 89
 90
 91
 92
 93
 94
 95
 96
 97
 98
 99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
#include <chrono>
#include <cstdio>
#include <map>
#include <random>
#include <set>
#include <vector>

typedef unsigned long long ull;

const int N = 1e5 + 10, M = 998244353;
const ull mask = std::chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count();

struct Tree {
  ull hash, deg, ans;
  std::map<ull, ull> son;

  Tree() { clear(); }

  void add(Tree& o);
  void remove(Tree& o);
  void clear();
};

ull inv(ull x) {
  ull y = M - 2, z = 1;
  while (y) {
    if (y & 1) {
      z = z * x % M;
    }
    x = x * x % M;
    y >>= 1;
  }
  return z;
}

ull shift(ull x) {
  x ^= mask;
  x ^= x << 13;
  x ^= x >> 7;
  x ^= x << 17;
  x ^= mask;
  return x;
}

void Tree::add(Tree& o) {
  ull temp = shift(o.hash);
  hash += temp;
  ans = ans * ++deg % M * inv(++son[temp]) % M * o.ans % M;
}

void Tree::remove(Tree& o) {
  ull temp = shift(o.hash);
  hash -= temp;
  ans = ans * inv(deg--) % M * son[temp]-- % M * inv(o.ans) % M;
}

void Tree::clear() {
  hash = 1;
  deg = 0;
  ans = 1;
  son.clear();
}

std::vector<int> edge[N];
Tree sub[N], root[N];
std::map<ull, ull> trees;

void getSub(int x, int fa) {
  for (int i : edge[x]) {
    if (i == fa) {
      continue;
    }
    getSub(i, x);
    sub[x].add(sub[i]);
  }
}

void getRoot(int x, int fa) {
  for (int i : edge[x]) {
    if (i == fa) {
      continue;
    }
    root[x].remove(sub[i]);
    root[i] = sub[i];
    root[i].add(root[x]);
    root[x].add(sub[i]);
    getRoot(i, x);
  }
  trees[root[x].hash] = root[x].ans;
}

int main() {
  int t, n;
  scanf("%d", &t);
  while (t--) {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i < n; i++) {
      int u, v;
      scanf("%d%d", &u, &v);
      edge[u].push_back(v);
      edge[v].push_back(u);
    }
    getSub(1, 0);
    root[1] = sub[1];
    getRoot(1, 0);
    ull tot = 0;
    for (auto p : trees) {
      tot = (tot + p.second) % M;
    }
    printf("%lld\n", tot);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
      edge[i].clear();
      sub[i].clear();
      root[i].clear();
    }
    trees.clear();
  }
}

参考资料

文中的哈希方法参考并拓展自博客 一种好写且卡不掉的树哈希。

本页面最近更新：2023/5/6 15:04:02，更新历史
发现错误？想一起完善？ 在 GitHub 上编辑此页！
本页面贡献者：H-J-Granger, Chrogeek, Enter-tainer, Henry-ZHR, jifbt, kenlig, Marcythm, mcendu, Menci, partychicken, platelett, StudyingFather, Tiphereth-A, yjl9903
本页面的全部内容在 CC BY-SA 4.0 和 SATA 协议之条款下提供，附加条款亦可能应用