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最大团搜索算法

前置知识：团

引入

在计算机科学中，团问题指的是在给定的图中找到团（顶点的子集，都彼此相邻，也称为完全子图）的计算问题。

团的问题在现实生活中也有体现。例如我们考虑一个社交网络，其中图的点代表用户，图的边代表其所连接的两个用户互相认识。那么我们找到了一个团，也就找到了一群互相认识的人。

我们如果想要找到这个社交网络中最大的一群互相认识的人，那么就需要用到最大团搜索算法。

我们已经介绍了 极大团 的概念，最大团指的是点数量最多的极大团。

解释

想法是利用递归和回溯，用一个列表存储点，每次加入点进来都检查这些点是否仍在一个团中。如果加入进来这个点后就无法还是一个团了，就回溯到满足条件的位置，重新加入别的点。

采用回溯策略的原因是，我们并不知道某个顶点 最终 是否是最大团中的成员。如果递归算法选择 作为最大团的成员时，并没有找到最大团，那么应该回溯，并查找最大团中没有 的解。

过程

Bron–Kerbosch 算法对于这种想法进行了优化实现。它的基础形式是通过给定三个集合：、、 来递归地进行搜索。步骤如下：

  1. 初始化集合 分别为空，集合 是图中所有点的集合。
  2. 每次从集合 中取顶点 ，当集合中没有顶点时，有两种情况：
    1. 集合 是最大团，此时集合 为空
    2. 无最大团，此时回溯
  3. 对于每一个从集合 中取得的顶点 ，有如下处理：
    1. 将顶点 加到集合 中，之后递归集合
    2. 从集合 中删除顶点 ，并将顶点 添加到集合 中
    3. 若集合 都为空，则集合 即为最大团

此方法也可继续优化。为了节省时间让算法更快的回溯，可以通过设定关键点（pivot vertex）来进行搜索。另一种优化思路是在开始时把所有点排序，枚举时按照下标顺序，防止重复。

实现

伪代码

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R := {}
P := node set of G 
X := {}

BronKerbosch1(R, P, X):
    if P and X are both empty:
        report R as a maximal clique
    for each vertex v in P:
        BronKerbosch1(R ⋃ {v}, P ⋂ N(v), X ⋂ N(v))
        P := P \ {v}
        X := X ⋃ {v}

C++ 实现

实现代码 
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#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
const int MAXN = 105;

struct MaxClique {
  bool g[MAXN][MAXN];
  int n, dp[MAXN], st[MAXN][MAXN], ans;

  // dp[i]表示第i个点之后能组成的最大团的大小，
  // st[i][j]表示算法中第i层dfs所需要的点的集合，保存有可能是最大团其中之一的点

  void init(int n) {
    this->n = n;
    memset(g, false, sizeof(g));
  }

  void addedge(int u, int v, int w) { g[u][v] = w; }

  bool dfs(int sz, int num) {
    if (sz == 0) {
      if (num > ans) {
        ans = num;
        return true;
      }
      return false;
    }
    for (int i = 0; i < sz; i++) {  // 在第num层的集合中枚举一个点i
      if (sz - i + num <= ans) return false;  // 剪枝1
      int u = st[num][i];
      if (dp[u] + num <= ans) return false;  // 剪枝2
      int cnt = 0;
      for (
          int j = i + 1; j < sz;
          j++) {  // 在第num层遍历在i之后的且与i所相连的点，并且加入第num+1层集合
        if (g[u][st[num][j]]) st[num + 1][cnt++] = st[num][j];
      }
      if (dfs(cnt, num + 1)) return true;
    }
    return false;
  }

  int solver() {
    ans = 0;
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    for (int i = n; i >= 1; i--) {
      int cnt = 0;
      for (int j = i + 1; j <= n; j++) {  // 初始化第1层集合
        if (g[i][j]) st[1][cnt++] = j;
      }
      dfs(cnt, 1);
      dp[i] = ans;
    }
    return ans;
  }

} maxclique;

int main() {
  int n;
  while (scanf("%d", &n), n) {
    maxclique.init(n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
      for (int j = 1; j <= n; j++) {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        maxclique.addedge(i, j, x);
      }
    }
    printf("%d\n", maxclique.solver());
  }
  return 0;
}

例题

POJ 2989: All Friends

题目大意：给出 个人，其中有 对朋友，求最大团数量。

思路：模版题，要用 Bron–Kerbosch 算法

伪代码：

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 BronKerbosch(All, Some, None):  
     if Some and None are both empty:  
         report All as a maximal clique // 所有点已选完，且没有不能选的点，累加答案  
     for each vertex v in Some: // 枚举 Some 中的每一个元素  
         BronKerbosch1(All ⋃ {v}, Some ⋂ N(v), None ⋂ N(v))   
         // 将 v 加入 All，显然只有与 v 为朋友的人才能作为备选，None 中也只有与 v 为朋友的才会对接下来造成影响  
         Some := Some - {v} // 已经搜过，从 Some 中删除，加入 None  
         None := None ⋃ {v}

为了节省时间和让算法更快的回溯，我们可以通过设定关键点（pivot vertex） 进行优化。

我们知道在上述的算法中必然有许多重复计算之前计算过的极大团，然后回溯的过程。

以前文提到的 、、 三个集合为例：

我们考虑如下问题，取集合 中的一个点 ，要与 集合构成极大团，那么取的点必然是 中一个点（ 代表与 相邻的点）。

如果取完 之后我们再取与 相邻的点 也能加入到极大团，那么我们只取 就好了。这样做可以减少之后对 的重复计算。我们之后只需要取与 不相邻的点。

加入优化后的 C++ 代码实现：

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#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxn = 130;
bool mp[maxn][maxn];
int some[maxn][maxn], none[maxn][maxn], all[maxn][maxn];
int n, m, ans;

void dfs(int d, int an, int sn, int nn) {
  if (!sn && !nn) ++ans;
  int u = some[d][0];
  for (int i = 0; i < sn; ++i) {
    int v = some[d][i];
    if (mp[u][v]) continue;
    for (int j = 0; j < an; ++j) all[d + 1][j] = all[d][j];
    all[d + 1][an] = v;
    int tsn = 0, tnn = 0;
    for (int j = 0; j < sn; ++j)
      if (mp[v][some[d][j]]) some[d + 1][tsn++] = some[d][j];
    for (int j = 0; j < nn; ++j)
      if (mp[v][none[d][j]]) none[d + 1][tnn++] = none[d][j];
    dfs(d + 1, an + 1, tsn, tnn);
    some[d][i] = 0, none[d][nn++] = v;
    if (ans > 1000) return;
  }
}

int work() {
  ans = 0;
  for (int i = 0; i < n; ++i) some[1][i] = i + 1;
  dfs(1, 0, n, 0);
  return ans;
}

int main() {
  while (~scanf("%d %d", &n, &m)) {
    memset(mp, 0, sizeof mp);
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
      int u, v;
      scanf("%d %d", &u, &v);
      mp[u][v] = mp[v][u] = 1;
    }
    int tmp = work();
    if (tmp > 1000)
      puts("Too many maximal sets of friends.");
    else
      printf("%d\n", tmp);
  }
  return 0;
}

习题

参考资料

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