网络流简介

本页面主要介绍网络流相关的基本知识。

概述

网络（network）是指一个特殊的有向图，其与一般有向图的不同之处在于有容量和源汇点。

中的每条边都有一个被称为容量（capacity）的权值，记作。当 $(u,v)\notin E$ 时，可以假定。
中有两个特殊的点：源点（source）和汇点（sink）（ $s \neq t$ ）。

对于网络，流（flow）是一个从边集到整数集或实数集的函数，其满足以下性质。

容量限制：对于每条边，流经该边的流量不得超过该边的容量，即 $0 \leq f(u,v) \leq c(u,v)$ ；
流守恒性：除源汇点外，任意结点的净流量为。其中，我们定义的净流量为 $f(u) = \sum_{x \in V} f(u, x) - \sum_{x \in V} f(x, u)$ 。

对于网络和其上的流，我们定义的流量为的净流量。作为流守恒性的推论，这也等于的净流量的相反数。

对于网络，如果 $\{S, T\}$ 是的划分（即 $S \cup T = V$ 且 $S \cap T = \varnothing$ ），且满足 $s \in S, t \in T$ ，则我们称 $\{S, T\}$ 是的一个 - 割（cut）。我们定义 - 割 $\{S, T\}$ 的容量为 $||S, T|| = \sum_{u \in S} \sum_{v \in T} c(u, v)$ 。

常见问题

常见的网络流问题包括但不限于以下类型问题。

最大流问题：对于网络，给每条边指定流量，得到合适的流，使得的流量尽可能大。此时我们称是的最大流。
最小割问题：对于网络，找到合适的 - 割 $\{S, T\}$ ，使得 $\{S, T\}$ 的容量尽可能大。此时我们称 $\{S, T\}$ 是的最小割。
最小费用最大流问题：在网络上，对每条边给定一个权值，称为费用（cost），含义是单位流量通过所花费的代价。对于所有可能的最大流，我们称其中总费用最小的一者为最小费用最大流。

我们将在稍后的章节中对它们进行详细介绍。

例题：网络流 24 题

网络流 24 题是中文互联网上广泛流传的一个题单（LibreOJ/洛谷），至少在 2010 年前后就已经存在。该题单引入了一些经典的将其他问题建模为网络流问题的技巧。由于时代的局限性，这些问题未必是最具代表性的网络流问题，但仍值得有志于算法竞赛的读者一阅。

本页面最近更新：2023/9/5 22:16:34，更新历史
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