图的着色

点着色

（讨论的是无自环无向图）

对无向图顶点着色，且相邻顶点不能同色。若 G 是 - 可着色的，但不是 - 可着色的，则称 k 是 G 的色数，记为 $\chi(G)$ 。

对任意图 G，有 $\chi(G) \leq \Delta(G) + 1$ ，其中 $\Delta(G)$ 为最大度。

Brooks 定理

设连通图不是完全图也不是奇圈，则 $\chi(G) \leq \Delta(G)$ 。

证明

设，考虑数学归纳法。

首先， $n\leq 3$ 时，命题显然成立。

接下来，假设对于时的命题成立，下面我们要逐步强化命题。

不妨只考虑 $\Delta(G)$ - 正则图，因为对于非正则图来说，可以看作在正则图里删去一些边构成的，而这一过程并不会影响结论。

对于任意不是完全图也不是奇圈的正则图 G，任取其中一点 v，考虑子图，由归纳假设知 $\chi(H)\leq\Delta(H)=\Delta(G)$ ，接下来我们只需证明在 H 中插入 v 不会影响结论即可。

令 $\Delta:=\Delta(G)$ ，设 H 染的 $\Delta$ 种颜色分别为 $c_1,c_2,\dots,c_{\Delta}$ ，v 的 $\Delta$ 个邻接点为 $v_1,v_1,\dots,v_{\Delta}$ 。不妨假设 v 的这些邻接点颜色两两不同，否则命题得证。

接下来我们设所有在 H 中染成或的点以及它们之间的所有边构成子图 $H_{i,j}$ 。不妨假设任意 2 个不同的点，一定在 $H_{i,j}$ 的同一个连通分量中，否则若在两个连通分量中的话，可以交换其中一个连通分量所有点的颜色，从而，颜色相同。

这里的交换颜色指的是若图中只有两种颜色 a，b，那么把图中原来染成颜色 a 的点全部染成颜色 b，把图中原来染成颜色 b 的点全部染成颜色 a。

我们设上述连通分量为 $C_{i,j}$ ，那么 $C_{i,j}$ 一定只能是到的路。因为在 H 中的度为 $\Delta-1$ ，所以在 H 中的邻接点颜色一定两两不同，否则可以给染别的颜色，从而和 v 的其他邻接点颜色重复，所以在 $C_{i,j}$ 中邻接点数量为 1，同理。然后我们在 $C_{i,j}$ 中取一条到的路，令其为 P，若 $C_{i,j}\ne P$ ，那么我们沿着 P 顺次给路上的点染色，设遇到的第一个度数大于 2 的点为 u，注意到 u 的邻接点最多只用了 $\Delta-2$ 种颜色，所以 u 可以重新染色，从而使，不连通。

然后我们不难发现，对任意 3 个不同的点，，， $V(C_{i,j})\cap V(C_{j,k})=\{v_j\}$ 。

到这里我们对命题的强化工作就已经做完了。

接下来就很简单。首先，如果 v 的邻接点两两相邻，那么命题得证。不妨设，不相邻，在 $C_{1,2}$ 中取的邻接点 w，交换 $C_{1,3}$ 中的颜色。得到的新图中， $w\in V(C_{1,2})\cap V(C_{2,3})$ ，矛盾。

至此命题证明完毕。

Welsh–Powell 算法

Welsh–Powell 算法是一种在 不限制最大着色数 时寻找着色方案的贪心算法。

对于无自环无向图 G，设 $V(G):=\{v_1,v_2,\dots,v_n\}$ 满足。

$\deg(v_i)\geq\deg(v_{i+1}),~\forall 1\leq i\leq n-1$

按 Welsh–Powell 算法着色后的颜色数至多为 $\max_{i=1}^n\min\{\deg(v_i)+1,i\}$ , 该算法的时间复杂度为 $O\left(n\max_{i=1}^n\min\{\deg(v_i)+1,i\}\right)=O(n^2)$ 。

过程

将当前未着色的点按度数降序排列。
将第一个点染成一个未被使用的颜色。
顺次遍历接下来的点，若当前点和所有与第一个点颜色相同的点 不相邻，则将该点染成与第一个点相同的颜色。
若仍有未着色的点，则回到步骤 1, 否则结束。

示例如下：

Orignal

（由 Graph Editor 生成）

我们先对点按度数降序排序，得：

次序	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
点的编号	4	5	0	2	9	1	3	6	10	12	7	8	11
度数	5	5	4	4	4	3	3	3	3	3	2	2	1
$\min\{\deg(v_i)+1,i\}$	1	2	3	4	5	4	4	4	4	4	3	3	2

所以 Welsh–Powell 算法着色后的颜色数最多为 5。

另外因为该图有子图 , 所以色数一定大于等于 3。

第一次染色：

染 4 9 3 11 号点。 - 第二次染色：

染 5 2 6 7 8 号点。 - 第三次染色：

染 0 1 10 12 号点。

证明

对于无自环无向图 G，设 $V(G):=\{v_1,v_2,\dots,v_n\}$ 满足

$\deg(v_i)\geq\deg(v_{i+1}),~\forall 1\leq i\leq n-1$

令 $V_0=\varnothing$ , 我们取 $V(G)\setminus\bigcup_{i=0}^{m-1} V_i$ 中的子集 , 其中的元素满足

$v_{k_m}\in V_m$ , 其中 $k_m=\min\{k:v_k\notin\bigcup_{i=0}^{m-1} V_i\}$
若

$\{v_{i_{m,1}},v_{i_{m,2}},\dots,v_{i_{m,l_m}}\}\subset V_m,~i_{m,1}<i_{m,2}<\dots<i_{m,l_m}$

则 $v_j\in V_m$ 当且仅当
1. $j>i_{m,l_m}$
2. 与 $v_{i_{m,1}},v_{i_{m,2}},\dots,v_{i_{m,l_m}}$ 均不相邻

显然若将中的点染成第 i 种颜色，则该染色方案即为 Welsh–Powell 算法给出的方案，显然有

$V_1\neq\varnothing$
$V_i\cap V_j=\varnothing\iff i\neq j$
$\exists \alpha(G)\in\Bbb{N}^*,\forall i>\alpha(G),~s.t.~ V_i=\varnothing$

我们只需要证明：

$\bigcup_{i=1}^{\alpha(G)} V_i=V(G)$

其中

$\chi(G)\leq\alpha(G)\leq\max_{i=1}^n\min\{\deg(v_i)+1,i\}$

上式左边的不等号显然成立，我们考虑右边。

首先我们不难得出：

若 $v\notin\bigcup_{i=1}^mV_i$ ，则 v 与 $V_1,V_2,\dots,V_m$ 中分别至少有一个点相邻，从而有 $\deg(v)\geq m$

进而

$v_j\in\bigcup_{i=1}^{\deg(v_j)+1}V_i$

另一方面，基于序列 $\{V_i\}$ 的构造方法，我们不难发现

$v_j\in\bigcup_{i=1}^j V_i$

两式结合即得证。

边着色

对无向图的边着色，要求相邻的边涂不同种颜色。若 G 是 k- 边可着色的，但不是 - 边可着色的，则称 k 是 G 的边色数，记为 $\chi'(G)$ 。

Vizing 定理

设 G 是简单图，则 $\Delta(G) \leq \chi'(G) \leq \Delta(G) + 1$

若 G 是二部图，则 $\chi'(G)=\Delta(G)$

当为奇数（ $n \neq 1$ ）时， $\chi'(K_n)=n$ ; 当为偶数时， $\chi'(K_n)=n-1$

二分图 Vizing 定理的构造性证明

证明

按照顺序在二分图中加边。

我们在尝试加入边的时候，我们尝试寻找对于和的编号最小的尚未被使用过的颜色，假设分别为和。

如果此时我们可以直接将这条边的颜色设置为。

否则假设 , 我们可以尝试将节点连出去的颜色为的边的颜色修改为。

修改的过程可以被近似的看成是一条从出发，依次经过颜色为 $l_x,l_y,\cdots$ 的边的有限唯一增广路。

因为增广路有限所以我们可以将增广路上所有的边反色，即原来颜色为的修改为，原来颜色为的修改为。

根据二分图的性质，节点不可能为增广路节点，否则与最小未使用颜色为矛盾。

所以我们可以在增广之后直接将连接和的边的颜色设为。

总构造时间复杂度为。

示例代码 UVa10615 Rooks

#include <iostream>

typedef char chr;

const int maxN = 100;

int t;
int n;
chr a[maxN + 10][maxN + 10];
int c[maxN + 10][maxN + 10];
int ans;

namespace graph {
struct Vertex {
  int head;
  int deg;
  int vis[maxN + 10];
} vertex[2 * maxN + 10], e;

struct Edge {
  int head;
  int next;
  int col;
} edge[2 * maxN * maxN + 10];

int ecnt;

void init() {
  std::fill(c[0], c[0] + sizeof(c) / 4, 0);
  for (int i = 1; i <= 2 * maxN; i++) vertex[i] = e;
  for (int i = 0; i <= 2 * maxN * maxN; i++) edge[i].col = 0;
  ecnt = 1;
  ans = 0;
  return;
}

void addEdge(int tail, int head) {
  ecnt++;
  edge[ecnt].head = head;
  edge[ecnt].next = vertex[tail].head;
  vertex[tail].head = ecnt;
  vertex[tail].deg++;
  return;
}

int get(int u) {
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    if (!vertex[u].vis[i]) return i;
}

void DFS(int u, int ori, int upd) {
  if (vertex[u].vis[ori] == 0) {
    vertex[u].vis[upd] = 0;
    return;
  }
  int e = vertex[u].vis[ori];
  int v = edge[e].head;
  DFS(v, upd, ori);
  edge[e].col = upd;
  edge[e ^ 1].col = upd;
  vertex[u].vis[upd] = e;
  vertex[v].vis[upd] = e ^ 1;
  return;
}

void AddEdge(int u, int v) {
  addEdge(u, v);
  addEdge(v, u);
  return;
}

void solve() {
  for (int u = 1; u <= n; u++) {
    for (int e = vertex[u].head; e; e = edge[e].next) {
      int v = edge[e].head;
      if (edge[e].col) continue;
      int lu = get(u);
      int lv = get(v);
      if (lu < lv) DFS(v, lu, lv);
      if (lu > lv) DFS(u, lv, lu);
      int l = std::min(lu, lv);
      vertex[u].vis[l] = e;
      vertex[v].vis[l] = e ^ 1;
      edge[e].col = l;
      edge[e ^ 1].col = l;
    }
  }
}

void generate() {
  for (int u = 1; u <= n; u++) {
    for (int e = vertex[u].head; e; e = edge[e].next) {
      int v = edge[e].head;
      c[u][v - n] = edge[e].col;
    }
  }
  return;
}
}  // namespace graph

void mian() {
  graph::init();
  std::cin >> n;
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = 1; j <= n; j++) std::cin >> a[i][j];
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = 1; j <= n; j++)
      if (a[i][j] == '*') graph::AddEdge(i, j + n);
  for (int i = 1; i <= n * 2; i++) ans = std::max(ans, graph::vertex[i].deg);
  graph::solve();
  graph::generate();
  std::cout << ans << '\n';
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= n; j++) std::cout << c[i][j] << ' ';
    std::cout << '\n';
  }
  return;
}

int main() {
  std::cin >> t;
  while (t--) mian();
  return 0;
}

一道很不简单的例题 uoj 444 二分图

本题为笔者于 2018 年命制的集训队第一轮作业题。

首先我们可以发现答案下界为度数不为 k 倍数的点的个数。

下界的构造方法是对二分图进行拆点。

若 $degree \bmod k \neq 0$ , 我们将其拆为个度数为 k 的节点和一个度数为 $degree \bmod k$ 的节点。

若 $degree \bmod k = 0$ , 我们将其拆为个度数为 k 的节点。

拆出来的点在原图中的意义相同，也就是说，在满足度数限制的情况下，一条边端点可以连接任意一个拆出来的点。

根据 Vizing 定理，我们显然可以构造出该图的一种 k 染色方案。

删边部分由于和 Vizing 定理关系不大这里不再展开。

有兴趣的读者可以自行阅读笔者当时写的题解。

色多项式

表示 G 的不同 k 着色方式的总数。

$P(K_n, k) = k(k-1)\cdots(k-n+1)$

在无向无环图 G 中，

$e=(v_i, v_j) \notin E(G)$ ，则 $P(G, k) = P(G \cup e, k)+P(G\setminus e, k)$
$e=(v_i, v_j) \in E(G)$ ，则 $P(G,k)=P(G-e,k)-P(G\setminus e,k)$

定理：设是 G 的点割集，且是 G 的阶完全子图，有 $p(p \geq 2)$ 个连通分支，则：

$P(G,k)=\frac{\Pi_{i=1}^{p}{(P(H_i, k))}}{P(G[V_1], k)^{p-1}}$

其中 $H_i=G[V_1 \cup V(G_i)]$

参考资料

Graph coloring - Wikipedia
Welsh, D. J. A.; Powell, M. B. (1967), "An upper bound for the chromatic number of a graph and its application to timetabling problems", The Computer Journal, 10 (1): 85–86

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