可持久化平衡树

前置知识

OI 常用的可持久化平衡树 一般就是 可持久化无旋转 Treap 所以推荐首先学习 无旋转 Treap。

思想/做法

对于非旋转 Treap，可通过 Merge 和 Split 操作过程中复制路径上经过的节点（一般在 Split 操作中复制，确保不影响以前的版本）就可完成可持久化。

对于旋转 Treap，在复制路径上经过的节点同时，还需复制受旋转影响的节点（若其已为这次操作中复制的节点，则无需再复制），对于一次旋转一般只影响两个节点，那么不会增加其时间复杂度。

上述方法一般被称为 path copying。

「一切可支持操作都可以通过 Merge Split Newnode Build 完成」，而 Build 操作只用于建造无需理会，Newnode（新建节点）就是用来可持久化的工具。

我们来观察一下 Merge 和 Split，我们会发现它们都是由上而下的操作！

因此我们完全可以 参考线段树的可持久化操作 对它进行可持久化。

可持久化操作

可持久化 是对 数据结构 的一种操作，即保留历史信息，使得在后面可以调用之前的历史版本。

对于 可持久化线段树 来说，每一次新建历史版本就是把 沿途的修改路径 复制出来

那么对可持久化 Treap（目前国内 OI 常用的版本）来说：

在复制一个节点 $X_{a}$ （节点的第个版本）的新版本 $X_{a+1}$ （节点的第个版本）以后：

如果某个儿子节点不用修改信息，那么就把 $X_{a+1}$ 的指针直接指向 $Y_{a}$ （节点的第个版本）即可。
反之，如果要修改，那么就在 递归到下层 时新建 $Y_{a+1}$ （节点的第个版本）这个新节点用于 存储新的信息，同时把 $X_{a+1}$ 的指针指向 $Y_{a+1}$ （节点的第个版本）。

可持久化

需要的东西：

一个 struct 数组存 每个节点 的信息（一般叫做 tree 数组）；（当然写 指针版 平衡树的大佬就可以考虑不用这个数组了）
一个 根节点数组，存每个版本的树根，每次查询版本信息时就从 根数组存的节点 开始；
split() 分裂 从树中分裂出两棵树
merge() 合并 把两棵树按照随机权值合并
newNode() 新建一个节点
build() 建树

Split

对于 分裂操作，每次分裂路径时 新建节点 指向分出来的路径，用 std::pair 存新分裂出来的两棵树的根。

split(x,k) 返回一个 std::pair;

表示把为根的树的前个元素放在 一棵树 中，剩下的节点构成在另一棵树中，返回这两棵树的根（first 是第一棵树的根，second 是第二棵树的）。

如果的 左子树 的 $key \geq k$ ，那么 直接递归进左子树，把左子树分出来的第二颗树和当前的 右子树 合并。
否则递归 右子树。

static std::pair<int, int> _split(int _x, int k) {
  if (_x == 0)
    return std::make_pair(0, 0);
  else {
    int _vs = ++_cnt;  // 新建节点（可持久化的精髓）
    _trp[_vs] = _trp[_x];
    std::pair<int, int> _y;
    if (_trp[_vs].key <= k) {
      _y = _split(_trp[_vs].leaf[1], k);
      _trp[_vs].leaf[1] = _y.first;
      _y.first = _vs;
    } else {
      _y = _split(_trp[_vs].leaf[0], k);
      _trp[_vs].leaf[0] = _y.second;
      _y.second = _vs;
    }
    _trp[_vs]._update();
    return _y;
  }
}

Merge

merge(x,y) 返回 merge 出的树的根。

同样递归实现。如果 x 的随机权值>y 的随机权值，则 merge(x_{rc},y)，否则 merge(x,y_{lc})。

static int _merge(int _x, int _y) {
  if (_x == 0 || _y == 0)
    return _x ^ _y;
  else {
    if (_trp[_x].fix < _trp[_y].fix) {
      _trp[_x].leaf[1] = _merge(_trp[_x].leaf[1], _y);
      _trp[_x]._update();
      return _x;
    } else {
      _trp[_y].leaf[0] = _merge(_x, _trp[_y].leaf[0]);
      _trp[_y]._update();
      return _y;
    }
  }
}

例题

洛谷 P3835【模版】可持久化平衡树

你需要实现一个数据结构，要求提供如下操作（最开始时数据结构内无数据）：

插入数；
删除数（若有多个相同的数，应只删除一个，如果没有请忽略该操作）；
查询数的排名（排名定义为比当前数小的数的个数 + 1）；
查询排名为的数；
求的前驱（前驱定义为小于，且最大的数，如不存在输出 $-2\,147\,483\,647$ ）；
求的后继（后继定义为大于，且最小的数，如不存在输出 $2\,147\,483\,647$ ）。

以上操作均基于某一个历史版本，同时生成一个新的版本（操作 3, 4, 5, 6 即保持原版本无变化）。而每个版本的编号则为操作的序号。特别地，最初的版本编号为 0。

就是 普通平衡树 一题的可持久化版，操作和该题类似。

只是使用了可持久化的 merge 和 split 操作。