构造

构造一组 ，使得对于给定的 ，满足

从样例二可以看出本题的构造方法。

显然 为一组合法解。特殊地，当 时，无解，这是因为 与 此时相等。

至于构造思路是怎么产生的，大概就是观察样例加上一点点数感了吧。此题对于数学直觉较强的人来说并不难。

Task1：试判断能否构造并构造一个长度为 的 的排列，满足其 个前缀和在模 的意义下互不相同

Task2：试判断能否构造并构造一个长度为 的 的排列，满足其 个前缀积在模 的意义下互不相同

对于 task1：

当 为奇数时，无法构造出合法解；

当 为偶数时，可以构造一个形如 这样的数列。

首先，我们可以发现 必定出现在数列的第一位，否则 出现前后的两个前缀和必然会陷入模意义下相等的尴尬境地；

然后，我们考虑构造出整个序列的方式：

考虑通过构造前缀和序列的方式来获得原数列，可以发现前缀和序列两两之间的差在模意义下不能相等，因为前缀和序列的差分序列对应着原来的排列。

因此我们尝试以前缀和数列在模意义下为

这样的形式来构造这个序列，不难发现它完美地满足所有限制条件。

对于 task2：

当 为除 以外的合数时，无法构造出合法解

当 为质数或 时，可以构造一个形如 这样的数列

先考虑什么时候有解：

显然，当 为合数时无解。因为对于一个合数来说，存在两个比它小的数 使得 ，如 。那么，当 均出现过后，数列的前缀积将一直为 ，故合数时无解。特殊地，我们可以发现 ，无满足条件的 ，因此存在合法解。

我们考虑如何构造这个数列：

和 task1 同样的思路，我们发现 必定出现在数列的第一位，否则 出现前后的两个前缀积必然相等；而 必定出现在数列的最后一位，因为 出现位置后的所有前缀积在模意义下都为 。分析题目给出的几组样例以后发现，所有样例中均有一组合法解满足前缀积在模意义下为 ，因此我们可以构造出上文所述的数列来满足这个条件。那么我们只需证明这 个数互不相同即可。

我们发现这些数均为 的逆元 ，因此各不相同，此题得解。

给定一个整数 ，试构造一个节点数为 无向图。令节点编号为 ，要求其满足以下条件：

• 这是一个简单连通图。
• 存在一个整数 使得对于任意节点，与其相邻节点的下标和为 。

保证输入数据有解。

通过分析 的情况，我们可以找到一个构造思路。

构造一个完全 分图，保证这 部分和相等。则每个点的 均相等，为 。

如果 为偶数，那么我们可以前后两两配对，即

如果 为奇数，那么我们可以把 单拿出来作为一组，剩余的 个两两配对，即

这样构造出的图在 时连通性易证，在此不加赘述。

此题得解。

经过一天辛苦的工作，小 Q 进入了梦乡。他脑海中浮现出了刚进大学时学 01 背包的情景，那时还是大一萌新的小 Q 解决了一道简单的 01 背包问题。这个问题是这样的：

给定 个物品，每个物品的体积分别为 ，请计算从中选择一些物品（也可以不选），使得总体积恰好为 的方案数。因为答案可能非常大，你只需要输出答案对 取模的结果。

因为长期熬夜刷题，他只看到样例输入中的 和 ，以及样例输出是 ，看不清到底有几个物品，也看不清每个物品的体积是多少。直到梦醒，小 Q 也没有看清 和 ，请写一个程序，帮助小 Q 一起回忆曾经的样例输入。

这道题是自由度最高的构造题之一了。这就导致了没有头绪，难以入手的情况。

首先，不难发现模数是假的。由于我们自由构造数据，我们一定可以让方案数不超过模数。

通过奇怪的方式，我们想到可以通过构造 个 代价为 的小物品和几个代价大于 的大物品。

由于大物品只能取一件，所以每个代价为 的大物品对方案数的贡献为 。

令 表示有 个 ，方案数为 的最小大物品数。

用 dp 预处理出 ，通过计算可知只需预处理 的所有值即可。

此题得解。